Заочный конкурс по математике

Весенний тур 2008 года

Задачи 6-25 (основные)

6. К числу 43 справа и слева припишите по одной ненулевой цифре так, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 45.

7. Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждые полчаса она высылает гонцов в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. Сколько времени проходит между прибытиями гонцов в пункт Б?

8. Можно ли написать по кругу 8 различных целых положительных чисел, не превосходящих 25, если требуется, чтобы любые два соседних числа отличались на 5 или 7? Приведите пример или докажите, что это невозможно.

9. Какое наибольшее целое число рублей нельзя уплатить (без сдачи) купюрами по 6, 9 и 20 рублей? Докажите, что найденное вами число уплатить нельзя, а все б'ольшие можно.

10. Начав решать задачу между 12:00 и 13:00, школьник посмотрел на часы. Закончив работу между 17:00 и 18:00, он заметил, что часовая и минутная стрелки поменялись местами. Сколько времени было, когда он закончил работу?

11. Рассмотрим целые положительные числа, делящиеся на 225, у которых сумма цифр равна 225. Сколько цифр в десятичной записи наименьшего из них?

12. У Ромы есть набор из четырёх квадратов 1x1, восьми квадратов 2x2 и пяти квадратов 3x3. Может ли Рома сложить из этих фигурок квадрат 9x9 так, чтобы квадратики 1x1 не граничили друг с другом даже по вершине?

13. Известно, что x=2a5=5b2>0, причем числа a, b - целые. Каково наименьшее возможное значение x?

14. Число x таково, что x+1/x=3. Найдите значение выражения x5+1/x5.

15. Можно ли из семи различных ненулевых цифр составить число, делящееся на все эти цифры?

16. Расположите в порядке возрастания числа 2222; 2222; 2222; 2222; 2222; 2222; 2222. Свой ответ объясните.

17. Рабочий может успеть за день либо напилить пять поленниц дров, либо наколоть восемь таких поленниц. Какое наибольшее количество дров он может напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день? (Число поленниц может быть не целым.)

18. Нарисуйте на плоскости 11 одинаковых не налегающих друг на друга квадратиков так, чтобы при любой раскраске их в 3 цвета какие-нибудь два квадратика одного цвета имели бы общий участок на границы. (Одна точка общим участком границы не является.)

19. Найдите самое маленькое простое число, большее 10, у которого и сумма цифр, и произведение цифр  простые числа. Докажите, что найденное число действительно наименьшее. (Простым называется натуральное число, имеющее ровно два делителя, один из которых единица, а другой - само это число. Число 1 простым не является.)

20. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц, а у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Сколько девочек в этом классе?

21. Решите неравенство (т.е. найдите все x, которые ему удовлетворяют)

99-98(99-98(99-98(99-98(99-98(99-98x))))) > x.

22. Сумма нескольких последовательных целых положительных чисел равна 1000. Что это за числа? Укажите все варианты и докажите, что других нет.

23. Летела стая сороконожек и трёхглавых драконов. У них всех вместе 26 голов и 298 ног. У сороконожки одна голова (и 40 ног). Сколько ног у дракона?

24. Даны 13 монет, 12 из которых настоящие и имеют один и тот же вес, а одна фальшивая и отличается по весу от остальных (но неизвестно, легче она или тяжелее). Как найти фальшивую монету за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь?

25. Дана таблица размером 100x100, составленная из положительных чисел, причем произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении. Докажите, что сумма всех чисел таблицы равна 1.

Весенний тур 2008 года (основная страница)

Главная страница