На главную страницу ЛШСМ-2010 К списку курсов ЛШСМ-2010

Гаянэ Юрьевна Панина

Целые точки в выпуклых многогранниках

Г.Ю.Панина планирует провести 4 занятия

Курс представляет собой букет из трёх очень старых и трёх очень новых идей.
Основной объект — число целых (т. е. с целыми координатами) точек в многограннике.

  1. Зачем нужны целые точки? Несколько примеров: многогранник Ньютона, Теорема Бриона (1988) — для начала без доказательства, просто в качестве фокуса, а также подсчёт целых метрических ленточных графов (2009).
  2. Число целых точек в выпуклом многограннике ведёт себя как полином. На плоскости это следует из теоремы Пика. В старших размерностях для доказательства этого факта понадобится элегантная комбинация оператора Тодда (1937) и разложения Грама-Брианшона (1837).
  3. Согласно конструкции, в полином, вычисляющий число целых точек, имеет смысл подставлять лишь положительные числа. (А если хочется подставить отрицательные? Кто в детстве не пытался делить на ноль?) Чтобы придать смысл отрицательной подстановке, нужны виртуальные многогранники (1992).
  4. Двойственность Эрхарта (1962) и её естественное обобщение (1992).
  5. Секрет фокуса Бриона.

У слушателей не предполагается никаких специальных предварительных знаний.


Rambler's Top100