На главную страницу ЛШСМ-2004

Ю.М.Бурман

Юрий Михайлович Бурман планирует провести 4 занятия.

Разбиения и перестановки

Разбиение натурального числа N --- это его представление в виде суммы нескольких натуральных слагаемых. Что такое перестановка, ясно каждому.

Существует множество формул, связывающих между собой числа разнообразных перестановок и разбиений. Например:

• (пентагональная теорема Эйлера) Количество p(N) всевозможных разбиений числа N удовлетворяет тождеству

  p(N)=p(N-1)+p(N-2)-p(N-5)-p(N-7)+p(N-12)+p(N-15)-...
  

  (вычитаемые в скобках это "пятиугольные числа" m(3m+1)/2 и m(3m-1)/2, m=1,2,... .
• (тождество Роджерса-Рамануджана) Количество разбиений числа N в сумму слагаемых, среди которых нет ни равных, ни отличающихся на единицу, равно количеству разбиений N в сумму слагаемых, дающих при делении на 5 остатки 1 или 4. Например,

     9=1+8            9=1+1+1+1+1+1+1+1+1
      =2+7             =4+1+1+1+1+1
      =3+6             =4+4+1
      =1+3+5           =6+1+1+1
  

• (тождество Мак-Магона) Количество разбиений числа N на k слагаемых, каждое из которых не превосходит l, равно количеству строк из k единиц и l двоек, в которых имеется N таких пар "двойка-единица", что двойка стоит левее единицы. Например, при k=N, l=1 оба числа равны 1.

Играм с подобного рода формулами и будет посвящен курс. Автор постарается, чтобы большинство теорем слушатели доказали самостоятельно, пользуясь его подсказками. Он также надеется совершенно скрыть от слушателей связь изучаемых формул с теорией представлений и когомологиями бесконечномерных алгебр Ли.

Записки курса см. здесь