На главную страницу НМУ

Г.И.Ольшанский

Конечномерные представления классических групп: избранные вопросы

Про конечномерные представления групп и алгебр Ли написано много книг, но они по большей части велики по объему для односеместрового курса с одной лекцией в неделю, да и педантично следовать какому-либо одному руководству скучно.
Я исхожу из того, что в НМУ можно предложить нестандартный курс, рассчитанный на сильных студентов.
Я предполагаю начать с самых основ, но пройти их быстро и затем перейти к интересным и важным для приложений сюжетам.
Курс будет частично обзорный: хочется объяснить главные идеи, не застревая на некоторых стандартных утверждениях, которые несложно усвоить из учебников.
Разумеется, скользить по верхам нельзя, и для самоконтроля слушателям будут предлагаться задачи.
Я не собираюсь рассматривать общие полупростые группы Ли и алгебры Ли, а сконцентрируюсь на классических. Причина в том, что в контексте классических групп и алгебр Ли некоторые теоремы упрощаются и приобретают большую наглядность, а некоторые важные результаты вообще не переносятся на особые группы и алгебры.

Спецкурс рассчитан, главным образом, на студентов 3-го курса и выше, вплоть до аспирантов, но если придут продвинутые младшекурсники, то я с удовольствием буду работать и с ними.

Примерная программа (возможны изменения):

Обзор основ: лемма Шура, мера Хаара, соотношения ортогональности для матричных элементов и характеров, регулярное представление, теорема Петера-Вейля.

Как работать с классическими группами и их алгебрами Ли.

Характеры классических групп, симметрические функции, ортогональные многочлены, биномиальная формула для характеров, двойственность Шура-Вейля и нестандартный материал вокруг нее.

Универсальная обертывающая алгебра, ее центр, инвариантные дифференциальные операторы, формулы Переломова-Попова, тождество Капелли и (если хватит времени) квантовые имманенты Окунькова.

Если хватит времени: классическая теория инвариантов и разложение представлений в бесследовых тензорах (ключ к одной из трудных частей книги Г. Вейля "Классические группы, их инварианты и представления.'').


Rambler's Top100