[Postscript (48K)|Zipped postscript (19K)]
[Postscript (33K)|Zipped postscript (14K)]
Элементарная арифметика и комбинаторика. мультиномиальные коэффициенты, разбиения, диаграммы Юнга, арифметика вычетов, алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, теорема Вильсона, малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Многочлены от одной переменной. алгоритм Евклида, разложение рациональной функции на простейшие дроби, производный многочлен, кратные корни и сепарабельность, результант и дискриминант, присоединение корней и поле разложения, разложение на множители многочленов с целыми и рациональными коэффициентами (лемма Гаусса и критерии неприводимости).
Многчлены от многих переменных. лексикографическое упорядочение мономов, однозначность разложения на множители, формулы Виета, стандартные базисы в модуле симметрических многочленов и матрицы перехода между ними.
Формальные степенные ряды. формальные сложение, умножение, дифференцирование, интегрирование, подстановка ряда в ряд, обращение и логарифмическая производная, бином с произвольным показателем, метод производящих функций, действие k[[d/dt]] на k[t] и обращение разностных операторов: многочлены Бернулли и суммирование степеней.
Алгебраические функции. поле рядов Лорана, поле дробно-степенных рядов, разложение неявной алгебраической функции в ряд Пюизо.
Поля. определение, примеры, комплексные числа и тригонометрические тождества, алгебраические числа, конечные поля, гомоморфизмы полей, алгебраические расширения полей, простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса.
Векторные пространства. определение, примеры, линейная зависимость, теоремы о базисах, матричный формализм для записи координатных разложений, замен базисов и линейных отображений.
Коммутативные кольца. определение, примеры, гомоморфизмы, фактор-кольца и идеалы, строение гомоморфизмов, кольца главных идеалов: Z, k[x], евклидовы кольца, прямые суммы колец, простота и неприводимость, нетеровость и факториальность, простые и максимальные идеалы.
Модули над коммутативными кольцами. определение модуля, образующие, базисы и линейная зависимость, свободные модули и ранг, гомомрфизмы, подмодули и фактор-модули, строение гомомрфизма модулей, задание гомомрфизма матрицей, прямые суммы модулей, строение конечнопорожденного модуля над кольцом главных идеалов: теорема о взаимном базисе, инвариантные множители и элементарные делители, строение конечнопорожденной абелевой группы.
Алгебра матриц. матричная запись систем линейных уравнений и линейных замен переменных, сложение и умножение матриц, элементарные преобразования и элементарные матрицы, метод Гаусса над полем и над евклидовым кольцом, решение систем линейных уравнений, обратимые элементы некоммутативного кольца и отыскание обратной матрицы, ранг матрицы, подстановка матриц в многочлены и степенные ряды.
Определители. ориентированный объем $n$-мерного параллелипипеда, полилинейность, знакопеременность и кососимметричность, поведение полилинейной косой формы при линейной замене аргументов, перестановки: четность и разложение на циклы, определитель матрицы: свойства и методы вычисления, правило Крамера, соотношения Лапласа, присоединенная матриыа, тождество Гамильтона-Кэли.
Группы. определение, примеры, реализация группы автоморфизмами множества, орбиты, стабилизаторы, длины орбит и теорема Лагранжа, нормальные подгруппы и фактор-группы, строение гоморфизмов, группа фигуры, группы многогранников, симметрические группы и их классы сопряженности, строение групп S_3, S_4, A_5, простота знакопеременных групп.
