В современной математике есть много красивых задач, решение которых доступно для заинтересованных студентов младших курсов. С другой стороны, имеются известные задачи, на решение которых ушли десятилетия активных усилий. Особенно приятно, когда обнаруживается задача, принадлежащая сразу к обоим этим классам. Цель этого курса — познакомить слушателей с контрпримером Нагаты (1958) к четырнадцатой проблеме Гильберта о конечной порождености алгебры инвариантов в интерпретации Стейберга (1997). Также мы обсудим другие проблемы конечности в алгебре и научимся явно вычислять образующие алгебры инвариантов для некоторых конечных групп и для торических действий.
Занятие 1. Конечность в алгебре: теорема Гильберта о базисе идеала, конечно порожденные поля, примеры не конечно порожденных подалгебр в алгебре многочленов.
Занятие 2. Инварианты линейного преобразования. Группа линейных преобразований и ее алгебра инвариантов. Примеры алгебр инвариантов ко- нечных групп. Два доказательства теоремы Нетер о конечной порожденности. Формулировка и история 14-й проблемы Гильберта.
Занятие 3. Действия торов и градуировки. Целые точки в конусе, лемма Гордана и образующие алгебры инвариантов.
Занятие 4. Контрпример Нагаты: задание действия, вычисление полиномиальных и рациональных инвариантов, сложение точек на кривой. Проблема Нагаты.
