ДОБАВКА НА КАНИКУЛЫ, 8-9 класс, 23 декабря.

1. На доске написано число 123456789. У написанного числа выбираются две соседние цифры, если ни одна из них не равна 0, из каждой вычитается по 1, и выбранные цифры меняются местами. Какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций?

2. В восьми корзинах лежат соответственно 1,2,...,8 яблок. Дано число k. За один ход можно из корзин взять k яблок, но не более, чем по одному яблоку из каждой корзины. При каких k можно за несколько ходов взять все яблоки из корзин?

3. Двое играют в игру. Игра начинается с числа 2. За один ход можно прибавить к имеющемуся числу любое число, не превосходящее его. Выигрывает тот, кто получит 1000. Кто выигрывает при правильной игре?

4. Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше 2/5 общего числа участников и во втором походе - тоже меньше 2/5. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников побывал хотя бы в одном походе.

5. На доске 5*5 в каждой клетке сидит жук. По команде каждый жук переползает в соседнюю по диагонали клетку. Какое наименьшее число свободных клеток могло при этом остаться?

6. а) У правильного пятиугольника покрашены 3 вершины. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с вершинами в покрашенных вершинах. б) У правильного 5000-угольника покрашена 2001 вершина. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с вершинами в покрашенных вершинах.

7. Сколькими способами можно разбить 10 человек на пары?

ДОБАВКА К ДОБАВКЕ.

1. В каждой клетке таблицы 50*50 стоит число +1 или -1. Известно, что модуль суммы всех чисел в таблице не превосходит 100. Докажите, что найдется квадрат 25*25 такой, что модуль суммы написанных в нем чисел не превосходит 25.

2. На одном из полей шахматной доски стоит король. Двое по очереди делают ходы королем (по шахматным правилам). Запрещается ходить на поле, где король уже побывал. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?